Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal II osa

Teema esitlus: "Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal II osa"— Esitluse väljavõte:

1 Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal II osa
© T. Lepikult,

2 Kahekohalised arvud Ülesanne 1
Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Selle arvu numbrite ümberpaigutamisel saame arvu, mis on esialgsest 18 võrra väiksem. Leida esialgne arv Lahendus Seda tüüpi ülesannetes tuleb otsitavat arvu vaadelda kujul z = 10x + y , kus x näitab kümneliste arvu ja y üheliste arvu. Tasub tähele panna, et otsitavad x ja y peavad olema täisarvud ning rahuldama võrratusi

3 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ...
Kui ülesannet lahendades peaksime saama otsitavatele niisugused väärtused, mis neid võrratusi ja/või täisarvulisuse nõuet rikuvad, tuleb hakata lahenduskäigust vigu otsima. Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame siit teise võrrandi:

4 Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ...
Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud võrrandisüsteem lineaarne: Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: +

5 Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ...
Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega ning saame ühe otsitava väärtuse: Paneme tähele, et x  Z ja , seega on lahenduse algul toodud nõuded täidetud. Teise tundmatu y saame kui ühes süsteemi võrranditest, näiteks teises, asendame tundmatu x leitud väärtusega: Ka tundmatu y väärtus rahuldab lahenduse algul kirjapandud tingimusi.

6 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ...
Otsitav arv on seega 75. Tema numbrite summa on tõesti 12 ja numbrite vahetamisel saadud arv (57) on 18 võrra väiksem kui esialgne arv. Vastus: Otsitav arv on 75.

7 Ülesanne 2 (kiiruste liitmine)
Aurik sõidab mööda jõge pärivoolu ühest sadamast teise 4 tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Leida sadamatevaheline kaugus, kui jõe voolukiirus on 2 km/h. Lahendus Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost: millest järelduvad seosed ja

8 Ülesanne 2 (2) Samuti peame teadma, et samasuunaliste liikumiste liitliikumisel kiirused liituvad: vastassunaliste kiiruste korral aga lahutuvad: Antud ülesande korral tähendab see seda, et kui tähistada laeva kiirus seisvas vees tähega v, siis pärivoolu liigub ta kiirusega v + 2 km/h, vastuvoolu aga kiirusega v - 2 km/h. Peale laeva kiiruse v on tundmatuks ka ülesandes küsitud sadamatevaheline kaugus. Tähistame selle tähega s.

9 Ülesanne 2 (3) Kuna teepikkus on aja ja kiiruse korrutis, siis pärivoolu liikumisel saame sadamatevahelise kauguse leida valemi pärivoolu sõites kulub 4 tundi abil, vastuvoolu liikudes aga kasutame valemit vastuvoolu sõites kulub 5 tundi Saime kahest võrrandist koosneva lineaarse võrrandisüsteemi:

10 Ülesanne 2 (4) Võrrandisüsteemi lahendamiseks lahutame esimese võrrandi vasakust ja paremast poolest teise võrrandi vastvad pooled: + Saadud seosest leiame laeva kiiruse seisvas vees: Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame:

11 Vastus: Sadamatevaheline kaugus on 80 km.
Ülesanne 2 (5) Kontrolliks leiame laeva kiiruse pärivoolu: ja pärivoolu ühest sadamast teise jõudmiseks vajaliku aja: Vastuvoolu liikudes on kiirus ja teekonnale kuluv aeg: Leitud ajad klapivad ülesande sõnastuses antutega, seega lahend sobib. Vastus: Sadamatevaheline kaugus on 80 km.

12 Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks
Mööda jõge pärivoolu liikuv laev läbib a kilomeetrit m tunniga; liikudes vastuvoolu, läbib ta sama tee n tunniga. Leida jõe voolukiirus. Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ... Vastus :