Normaaljaotuse genereerimisest

Teema esitlus: "Normaaljaotuse genereerimisest"— Esitluse väljavõte:

1 Normaaljaotuse genereerimisest

2 Tsentraalne piirteoreem
Kui U1, U2, ....., Un s.s.j.j.s. Ui ~ U(0,1) siis U1+U Un -> N(0.5*n, n/12)

3 U U12 - 6

4 Χ2-jaotus

5 Χ2-jaotus + Exp(λ=1)

6 Χ2-jaotus + Exp(λ=1/1,2)

7 Χ2-jaotus + Exp(λ=1/1,4)

8 Χ2-jaotus + Exp(λ=1/1,6)

9 Χ2-jaotus + Exp(λ=1/1,8)

10 Χ2-jaotus + Exp(λ=1/2)

11 Χ2-jaotus vs Exp(λ=1/2) Eksponentjaotus Χ2-jaotus, df = k λ = 1/2

12 Χ2-jaotus ja normaaljaotus
Olgu X1, X2, ..., Xk s.s.j.j.s., Xi ~ N(0,1) siis Z = X12 + X Xk2 on Χ2-jaotusega vabadusastmete arvuga k

13 Χ2-jaotus ja normaaljaotus
Kui genereerime eksponentjaotusest (λ=0.5) juhuslikke suuruseid, siis oleme tegelikult genereerinud kahe sõltumatu normaaljaotusest juhusliku suuruse ruutude summa väärtuseid: X12+X22 . Kuidas sellest summast kätte saada neid kahte normaaljaotusega juhuslikku suurust X1 ja X2-te?

14 Kaks sõltumatut N(0,1) juh.s.
Mis on X12+X22 joonisel?

15 R2 = X12 + X22

16 R2 = X12 + X22

17 R2 = X12 + X22

18 Milline on jaotus selles suunas?

19 Milline on jaotus selles suunas?

20 Milline on jaotus selles suunas?
Xθ = sin(θ)*X2 + cos(θ)*X1

21 Milline on jaotus selles suunas?
X1, X2 ~ N(0,1) Xθ = sin(θ)*X2 + cos(θ)*X1 Xθ ~ N E Xθ = E ( sin(θ)*X2 + cos(θ)*X1 ) =0 D Xθ = D ( sin(θ)*X2 + cos(θ)*X1 ) = D ( sin(θ)*X2 ) + D ( cos(θ)*X1 ) = sin2(θ)*1+ cos2(θ)*1 =1

22 Genereerimiseeskiri Box-Mülleri meetod
Genereeri eksponentjaotusest j.s. X~Exp(0.5) X = -2 * ln(U1) U1~U(0,1) Leia r r = sqrt(X) Genereeri juhuslik suund (nurk) θ~U(0, 2π): θ = 2π*U2 U2~U(0,1) Genereeri kaks normaaljaotusega juhuslikku suurust: Y1=cos(θ)*r Y2=sin(θ)*r

23 Juhuslike suuruste funktsioonid
Olgu X selline j.s., et fX=0, kui x ϵ I. Olgu g differentseeruv ja piirkonnas I monottoonne funktsioon. Siis j.s. Y=g(X) tihedusfunktsioon on

24 Näide Y=a*X+b, X~U(0,1) fX=1, kui 0≤x≤1 g(x)=a*x+b g-1(y) = (y-b)/a
(g-1(y))’=1/a fY(y) = fX(g-1(y)) * | (g-1(y))’(y) | =1 * 1/a, kui b≤y≤b+a

25 Juhuslike suuruste funktsioonid II
Olgu X1, X2,...,Xk sellised j.s., et f(x1, x2,...,xk)=0, kui x ϵ G. Olgu funktsioonid gi differentseeruvad ja üks-ühesed funktsioonid piirkonnas G ja defineerime uued juhuslikud suurused Y1, Y2, ..., Yk (muutumispiirkond G*): Y1=g1(X1, X2,...,Xk) ..... Yk=gk(X1, X2,...,Xk) . Pöördfunktsioonid: X1 = h1(Y1,..., Yk) Xk = hk(Y1,..., Yk) fY1,...Yk = ?

26 Juhuslike suuruste funktsioonid II

27 Näide X1 ~ U(0,1); X2 ~ U(0,1) sõltumatud Y1 = X1+X2 g1(x1,x2) = x1+x2
h1(y1,y2) = (y1+y2)/2 h2(y1,y2) = (y1-y2)/2 fX1,X2 = 1*1, kui 0 ≤ x1,x2 ≤ 1 fY1, Y2 = 1*(1/2), kui 0 ≤ Y1 ≤ 2; -Y1 ≤ Y2 ≤ Y1 kui 0 ≤ Y1 ≤ 1 2-Y1 ≤ Y2 ≤ Y1-2 kui 1<Y1 ≤ 2

28 Meie juhtum X1, X2 ~ U(0,1), sõltumatud
fX1,X2(x1,x2)=1, kui 0 ≤ x1,x2 ≤ 1 Y1 = sin(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1)) Y2 = cos(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1))