Korrapärase kolmnurga ümberringjoon © T. Lepikult, 2003

Ülesanne Ringi raadiusega r on kujundatud võrdkülgne kõõlkolmnurk ABC. Ringjoonel on võetud suvaliselt punkt M. Leidke MA2 + MB2 + MC2 . H. Uudelepp, A. Lõhmus, “Eksaminandile matemaatika riigieksamist 2003”, lk 70, ül. 11.

Ülesande joonis Ringi kujundatud korrapärane kolmnurk on võrdkülgne: B 60° AB = BC = AC = a, r Võrdkülgse kolmnurga sisenurgad on võrdsed: 120° 120° O r 60° r 120° 60° Kolmnurga korrapärasuse tõttu asub tema mediaanide lõikepunkt ringjoone keskpunktis C A Mediaanid jaotavad võrdkülgse kolmnurga ABC kolmeks võrdseks võrdhaarseks kolmnurgaks AOB, AOC ja BOC tipunurgaga 120° ja haarapikkusega r.

Ülesande joonis Lisame joonisele otsitavad lõigud MA, MB, MC ning lisaks lõigu MO = r. A B C M O r Vaatleme tekkinud võrdhaarseid kolmnurki MOB, MOA ja MOC. Nende kolmnurkade haarad on võrdsed ringi raadiusega r. a r 120° 120° Kolmnurga MOB tipunurga tähistame tähega a. Kuna siis ja

Koosinusteoreem (I) a A B C M O r Kolmnurgas MOB kasutame koosinusteoreemi: a 120°-a Sama teeme kolmnurgas MOA:

Koosinusteoreem (II) + A B C M O r Sama kolmnurgas MOC: 120°+ a Liidame saadud kolme võrduse vasakud ja paremad pooled: +

Trigonomeetrilise avaldise lihtsustamine Lihtsustame võrrandi paremal poolel sulgudes olevat trigonomeetrilist avaldist, kasutades esmalt kahe nurga vahe ja summa koosinuste valemit: Kõõlude ruutude summaks saame seega

Kontroll Kontrollime, kas tulemus kehtib ka siis, kui punkt M langeb kokku ühega kolmnurga tippudest, näiteks tipuga C. Sel korral MC2 = 0, MA ja MB aga ühtivad võrdkülgse kolmnurga külgedega. A B M O r 30° 60° D Täisnurkse kolmnurga BMD kaateti BD pikkuseks saame mediaanide omaduse tõttu: ja hüpotenuusi BM pikkuseks: Sama pikk on ka külg MA ja kõõlude ruutude summaks saame:

Vastus Seega uuritud erijuhul saadud vastus klapib. Vastus: