Heldena Taperson Anu Oks

Teema esitlus: "Heldena Taperson Anu Oks"— Esitluse väljavõte:

1 Heldena Taperson Anu Oks www.welovemath.ee
Arvkarakteristikud. Juhuslik suurus, selle jaotus. Keskväärtus. Normaaljaotus. Üldkogumi arvnäitajate hindamisest valimi karakteristikute abil Heldena Taperson Anu Oks

2 Arvkarakteristikud

3 Asendit kirjeldavad arvkarakteristikud
Mood (Mo) on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Kui kõikide tunnuse väärtuste arv on sama, siis mood puudub. Statistilisel real võib olla ka mitu moodi. Mediaan (Me) on tunnuse väärtus, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi on võrdne arv. Kui variatsioonireas on paaritu arv liikmeid, siis mediaaniks on selle rea keskmine liige. Kui variatsioonireas on paarisarv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmise liikme poolsumma.

4 Keskväärtus on tunnuse kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine.
Variatsioonreast Sagedustabelist

5 Hajuvust iseloomustavad arvkarakteristikud
Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe. xmax-xmin Alumiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas veerand; Ülemiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas veerand;

6 Hälve on tunnuse väärtuse ja keskmise vahe absoluutväärtus.
Keskmine hälve on hälvete aritmeetiline keskmine.

7 Sprinterid Karu ja Orav osalesid kuuel võistlusel 100 m jooksus
Sprinterid Karu ja Orav osalesid kuuel võistlusel 100 m jooksus. Kumb sprinteritest võistles stabiilsemalt? Tulemuseks olid järgmised ajad (s): Karu: 10,46; 10,32; 10,27; 10,41; 10,52; 10,48 Orav: 10,23; 10,42; 10,34; 10,58; 10,37; 10,52. Keskväärtus mõlemal juhul ligikaudu 10,41 Keskmine hälve Karul 0,077 Keskmine hälve Oraval 0,097 Nurk, Telgmaa, Undusk Matemaatika 7. klassile, Koolibri.

8 Dispersioon on hälvete ruutude keskmine.
Ruutjuurt dispersioonist nimetatakse standardhälbeks. Standarhälvet nimetatakse ka ruutkeskmiste hälbeks. Enamike tunnuste puhul üle poole tunnuse väärtustest paikneb lõigul

9 Väikeste valimite korral (alla 100 objekti) soovitatakse kasutada dispersiooni ja standardhälbe jaoks valemeid kujul

10 d) alumine ja ülemine kvartiil; e) standardhälve f) tee järeldusi!
Võimlemisrühmas on 9 liiget. Liikmete pikkused (mõõdetuna sentimeetrites) on antud tabelis. Moodusta tunnuse pikkus variatsioonrida. Leia a) keskväärtus; b) mood; c) mediaan; d) alumine ja ülemine kvartiil; e) standardhälve f) tee järeldusi! Pikkus Eva 159 Arvo 180 Kaarel 182 Sven 189 Tiia 165 Kaspar 172 Roosi 175 Triin 171 Tarvo 177 174,4 cm puudub 175 cm 171 cm ja 180 cm ≈9 cm

11 Massi mõõtes oli keskväärtus ja standardhälve
Ühel ja samal katseisikute grupil mõõdeti nende kaalu ja lasti vastata IQ testi küsimustele. Massi mõõtes oli keskväärtus ja standardhälve IQ testi keskmine tulemus oli Kumma poolest erineb grupp rohkem, kas kaalu või IQ poolest? Tõnso, Veelmaa Matemaatika 12. klassile Mathema

12 Variatsioonikordaja on standardhälbe ja keskväärtuse suhe.
Kaalu määramisel on Intelligentsi mõõtes Seega erinevad grupid rohkem kaalu poolest!

13 Üliõpilane kogus oma uurimustöö jaoks 20 õitsvat taime ning vaatles nende õite kaalu, läbimõõtu, õielehtede arvu ja värvi. H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

14 Vaadeldud kollaste õite vastavad andmed olid järgmised.
H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

15 Üliõpilane moodustas õite kaalude ja läbimõõtude paarid ning kandis need punktidena läbimõõtude – kaalude teljestikku. Teise, läbimõõtude – õielehtede arvu teljestikku kandis ta samuti vastavad punktid. Niiviisi saadud punktikogumeid tuntakse statistikas kui korrelatsioonivälju.

16 Tunnuse X ja Y korrelatsiooniväljaks nimetatakse nende
Joonistelt 21 on näha, et väiksema läbimõõduga õie kaal on ka väiksem ning suurema läbimõõduga õie kaal suurem. Joonise 22 põhjal on analoogilist laadi seost raskem määrata. Tunnuse X ja Y korrelatsiooniväljaks nimetatakse nende tunnuste väärtuspaaride (x;y) punktihulka.

17 Tähelepanekute kinnituseks kandis üliõpilane mõlemale joonisele ühe sirge (nn regressioonisirge) nii, et see oleks võimalikult lähedal kõigile korrelatsioonivälja punktidele.

18 Lineaarne korrelatsioonikordaja
H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

19 Joonistelt 23 ja 24 on näha, et läbimõõtude – kaalude teljestiku punkte (x;y) kirjeldav sirge on kiiremini tõusev (tõus k = 0,26), kui läbimõõtude – õielehtede arvu seost kirjeldav sirge (tõus k = 0,08). Sellega saab üliõpilane lugeda oma oletuse, et õite läbimõõt on kaaluga tugevamas samasuunalises seoses kui läbimõõt õielehtede arvuga õigeks. Sama tulemuse annab ka korrelatsioonikordajate võrdlemine (0,98 > 0,65).

20 Juhuslik suurus, selle jaotus Keskväärtus. Normaaljaotus

21 Muutujat X, mis omandab oma võimalikke väärtusi juhuslikult, nimetatakse juhuslikuks suuruseks. Üheks juhusliku suuruse arvkaraktristikuks on keskväärtus ehk juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Keskväärtust saab leida avaldisega kus on juhusliku suuruse vastavad tõenäosused. Tõenäosuste summa on võrdne 1-ga.

22 Seost, eeskirja, mis võimaldab leida juhusliku suuruse mingi väärtuse x esiletuleku tõenäosust p(x), nimetatakse juhusliku suuruse tõenäosusfunktsiooniks. Kui tõenäosusfunktsioon on teada. Siis öeldakse, et on antud juhusliku suuruse jaotus. Tõenäosusfunktsiooni võib esitada tabelina graafikuna avaldisena Diskreetse juhusliku suuruse korral saame määrata igale selle suurusele vastava tõenäosuse p(x). Pideval juhuslikul suurusel on lõpmatu arv erinevaid väärtusi.

23 Juhuslikud suurused, mille tõenäosust kirjeldavaks graafikuks on kellukesekujuline sümmeetriline kõver ehk Gaussi kõver, on tuntud kui normaaljaotusega juhuslikud suurused. Gaussi kõver on sümmeetriline juhusliku suuruse keskväärtuse suhtes. Suur osa loodust ja ühiskonda kirjeldavatest juhuslikest suurustest allub normaaljaotusele.

24 Saksa matemaatik, astronoom ja füüsik
Saksa matemaatik, astronoom ja füüsik H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

25 Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille keskmise taseme lähedased väärtused esinevad tihti, aga suuri kõrvalekaldeid keskmisest väärtusest on harva. Mõlemasuunalised kõrvalekalded on võrdvõimalikud.

26 Normaaljaotus tekib järgmiste tingimuste korral:
tunnuse väärtustel on olemas mingi fikseeritud keskmine tase; tunnuse väärtus kujuneb paljude üksteisest sõltumatute nõrgalt mõjuvate faktorite toimel; tunnuse väärtuste suurenemine üle keskmise taseme ja vähenemine alla keskmist taset on võrdvõimalikud.

27 Normaaljaotust saab esitada funktsiooni abil
Normaalajaotuse korral on keskväärtus, mediaan ja mood võrdsed. Ebasümmeetriliste jaotuste korral on need kolm karakteristikut erinevad.

28 H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A
H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

29

30 Tõnso, Veelmaa Matemaatika 12. klassile Mathema

31 Üldkogumi arvnäitajate hindamisest valimi karakteristikute abil

32 Õpilase lilleõite uurimistöös õite valimisse sattunud õite kaalude aritmeetilist keskmist (ligikaudu 12,2 g) nimetatakse üldkogumi keskmise punktihinnanguks. Oma uurimistööle suurema kaalu andmiseks peab õpilane andma oma valimi alusel hinnangu kõigi antud piirkonnas leiduvate vaadeldud tüüpi õite kohta. Need õied moodustavad üldkogumi. Valimi põhjal üldkogumi kohta langetatavate otsuste tegemise meetodite leidmine, uurimine ja arendamine on matemaatilise statistika põhieesmärk.

33 Kui palju punktihinnang erineb üldkogumi õite kaalu tegelikust keskmisest?
Seda vahemikku nimetatakse usaldusvahemikuks. Usaldusvahemikuks nimetatakse sellist vahemikku, millesse üldkogumi tegelik keksmine jääb küllalt suure tõenäosusega. Usaldusvahemiku vastav tegelik arvnäitaja võib asetseda usaldusvahemiku mis tahes punktis. Enamasti võetakse usaldusvahemikuks 95% või 99%. Seda tõenäosust nimetatakse usaldusnivooks. Usaldusnivoo tähiseks on 1- α. Suurust α nimetatakse olulisuse nivooks.

34 Üldkogumi keskmise (keskväärtuse) usalduspiirid
arvutatakse järgmiselt: alumine usalduspiir ülemine usalduspiir

35

36 Leia viimasest õpikulõigust viga H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A
Leia viimasest õpikulõigust viga H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

37 H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A
H. Afanasjeva, J. Afanasjev, A. Aalto, J. Kangasaho, O. Kylliäinen, A. Metiäinen, J. Mäkinen, J. Tahvanainen Gümnaasiumi kitsas matemaatika IV, Avita

38 Lahendus. Erakonna A usaldatavuse hinnangud usaldusnivoo 95% juures. Alumine usalduspiir Ülemine usalduspiir Erakonna B usaldatavuse hinnangud usaldusnivoo 95% juures. Kuna vastavad erakondade usaldatavuse usaldusvahemikud omavad ühisosa (5,3….5,4), siis võib toimetaja väidet lugeda liialdatuks.

39 Vastus. Võttes usaldusnivooks 95%, saame hinnangute keskmiste usaldusvahemikuks erakonnal A 5,3 kuni 6,1 ja erakonnal B 4,6 kuni 5,4. Kuna piirkondadel on ühisosa, siis ei ole hinnangute erinevus sellel usaldusnivool oluline. Toimetaja väidet võib pidada liialdatuks. Selle tõenäosus on väiksem kui 95%.

40 A. Oks, H. Taperson Matemaatika lisamaterjal 12. klassile, Avita
Vaatame Heidi herneterade arvu ühes kaunas. herneterade keskväärtuse 95% ja 99% usalduspiirid üldkogumi jaoks. On teada, et tunnuse valimi põhjal leitud herneterade arvu keskmine on 6,4; dispersioon 4,49 ja standardhälve 2,1. Leia kõigepealt herneterade arvu keskväärtuse 95% usalduspiirid üldkogumi jaoks.

41 Kuna usaldusnivoo on 0,95, tuleb olulisuse nivoo leidmiseks teostada lahutamistehe
Alumise usalduspiiri leidmiseks tuleb kõigepealt leida tabelist Selleks otsime üles tulba, mille kohale on kirjutatud 0,05 ja hakkame alla tulema, kuni jõuame reani, mille ette on kirjutatud 80. Saame

42 3. Pannes arvud valemisse, saame arvutada alumise usalduspiiri
4. Ülemise usalduspiiri leidmiseks tuleb valemis miinusmärk asendada plussiga 5.Usaldusvahemik on ja võime väita, et tõenäosusega 95% jääb kõigi üldkogumi herneterade arv ühes kaunas vahemikku 5,9 kuni 6,9 ehk 6 kuni 7 hernetera.

43 6. Analoogiliselt leiame herneterade keskväärtuse 99% usalduspiirid üldkogumi jaoks. Vastus. Võime väita, et tõenäosusega 99% jääb kõigi üldkogumi herneterade arv ühes kaunas vahemikku 5,8 kuni 7,0 ehk 6 kuni 7 hernetera.