Vahemikhinnangud.

Teema esitlus: "Vahemikhinnangud."— Esitluse väljavõte:

1 Vahemikhinnangud

2 Usaldusnivoo ja usalduspiirkond
Punkthinnangud on juhuslikud suurused, sest nad muutuvad ühelt valimilt teisele ülemineku korral. Samuti pole punkthinnangu korral võimalik leida hinnangu täpsust. Vahemikhinnangu puhul määratakse antud valimi jaoks vahemik, millesse otsitav parameeter etteantud tõenäosusega kuulub. Tõenäosust, millega peavad kehtima tehtud otsustused, nimetatakse usaldusnivooks ja tähistatakse sümboliga b. Parameetri a sümmeetriliseks usalduspiirkonnaks vastavalt usaldusnivoole b nimetatakse juhuslikku vahemikku (ã – e, ã + e), mis katab hinnatava parameetri a tõenäosusega b : P(|ã – a| < e) = b Arv e > 0 iseloomustab hinnangu täpsust.

3 Usalduspiirkonna leidmine
p(a) a ã - e ã + e S = b p(a) – juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã – e, ã + e) leidmiseks tuleb: Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; Ette anda usaldusnivoo b (näiteks 95%; 99%); Leida seosest P(|ã – a| < e) = b suurus e, mis määrabki usalduspiirkonna.

4 Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral
Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, s). Leiame keskväärtuse punkthinnangu aritmeetilise keskmise abil: Normaaljaotusega juhusliku suuruse X antud vahemikku sattumise tõenäosuse võime leida Laplace’i funktsiooni abil: Kui X on normaaljaotusega, siis on ka X normaaljaotusega:

5 Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond
Leiame D(X): Aritmeetilise keskmise standardhälve võrdub üksiktulemuse standardhälve jagatud ruutjuurega katsete arvust. Seda nimetatakse ka standardveaks. Tulemusena saime võrrandi e määramiseks:

6 Näide Mõõteriista passis on antud mõõtmise standardhälbeks 0,1. Mitu mõõtmist tuleks teostada, et aritmeetilise keskmise standardhälve ei ületaks 0,03? Lahendus On antud s = 0,1. Aritmeetilise keskmise standardhälbe valemi kohaselt Leitud seosest saame Seega tuleks teostada vähemalt 12 mõõtmist.

7 Näide 2 (I) Eelmises näites kirjeldatud mõõteriistaga teostati 27 mõõtmist. 3 korda esines tulemus 23,4, 6 korda 23,5, 4 korda 23,6, 8 korda 23,7, 5 korda 26,8 ja 1 kord 26,9. Leida mõõdetud suuruse keskväärtuse 90%-lised usalduspiirid. Lahendus 1) Leiame aritmeetilise keskmise: 2) e leidmiseks kasutame võrrandit Avaldame sellest suuruse e . Esmalt rakendame võrrandi kummalegi poolele Laplace’i funktsiooni pöördfunktsiooni F-1:

8 Näide 2 (II) Asendades viimase seose paremal poolel olevad tähised arvväärtustega, saame: tabelist “tagurpidi” lugedes MS EXCEL: =normsinv((1+b)/ 2) Alumine usalduspiir Ülemine usalduspiir Keskväärtuse 90%-line usalduspiirkond: (23,601; 23,665).

9 Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond. Studenti jaotus
Eeldame, et X ~ N(m, s), valimi maht on väike (n < 30) ning standardhälve ei ole teada. Valimi andmetel moodustame juhusliku suuruse Nii moodustatud juhuslik suurus allub Studenti e. t-jaotusele vabadusastmete arvuga k = n – 1, kus n on valimi maht. Vabadusastmete arvu suurenedes koondub Studenti jaotuse tihedusfunktsioon sk(x) kiiresti normeeritud normaaljaotuse tihedusfunktsioonile:

10 Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond. Studenti jaotus
Kui vabadusastmete arv k on vähemalt 30, võib usalduspiiride määramisel Studenti jaotuse asemel kasutada normeeritud normaaljaotust. Studenti jaotus on oluline väikesearvuliste valimite korral. Väikeste valimitega tegelevat statistikaharu nimetatakse mikrostatistikaks.

11 Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond.
Usalduspiirkonna leidmine: Suurus on Studenti jaotusega ning Studenti jaotuse jaotusfunktsioon MS EXCEL: =tinv(1-b, k) Lahendame saadud võrrandi e suhtes: Suurus on t-jaotuse kvantiil. k = n -1 ja a = (1 + b)/2

12 Näide Usalduspiirkonnaks saame: Näide.
Antud valim: 18, ,4; 19,2. Leida keskväärtuse 95%-lised usalduspiirid. Lahendus. tabelist

13 2 – jaotus. Dispersiooni usalduspiirid.

14 c2 – jaotuse definitsioon
Olgu X1, X2, ... , Xk sõltumatud normeeritud normaaljaotusega juhuslikud suurused Siis nimetatakse juhuslikku suurust c2 – jaotusega juhuslikuks suuruseks vabadusastmete arvuga k. (loetakse: hii-ruut-jaotus) Sellise nimetuse andis jaotusele tema uurija, inglise statistik Karl Pearson aastal. Kui vabadusastmete arv k kasvab, siis c2 – jaotus läheneb aeglaselt normaaljaotusele parameetritega m = k ja

15 c2 – jaotuse tihedusfunktsioon
p(c2) c2 k= 4

16 c2 – jaotusega juhuslik suurus
Osutub, et c2 – jaotusega on ka mittenormeeritud normaaljaotusega üldkogumist saadud valimi (mahuga n) puhul juhuslik suurus (1) Vabadusastmete arvuks on selle juhusliku suuruse jaotusel k = n –1 kuna seose tõttu on kõikidest hälvetest sõltumatuid vaid n – 1.

17 Dispersiooni hinnangu seos c2 – jaotusega
Dispersiooni nihutamata hinnang valimi põhjal: seetõttu Tulemus: juhuslik suurus on jaotusega vabadusastmete arvuga k = n – 1: (2)

18 c2 – jaotuse täiendkvantiilid
Usaldusnivoo b (0 < b < 1) on etteantud suurus. S=(1-b)/2 S=b c2((1-b)/2,k) c2((1+b)/2,k) c2 p(c2 ) c2-jaotusega juh. suuruse täiendkvantiilid (3) Juhusliku suuruse X b-täiendkvantiil ãb on võrrandi P(X>ãb) = b lahend. Kvantiil ab ja täiendkvantiil ã1-b on võrdsed: ab = ã1-b .

19 Dispersiooni ja standardhälbe usalduspiirkond (I)
Valemitest (2) ja (3) järeldub:

20 Dispersiooni ja standardhälbe usalduspiirkond (II)
Leidsime tõkked, mille vahel suurus s2 tõenäosusega b asub. Seega on dispersiooni usaldusvahemikuks usaldusnivooga b: Standardhälbe usalduspiirkonna määramisel võetakse dispersiooni kummastki usalduspiirist ruutjuur:

21 Näide (I) Mõõdeti 12-ne 10-aastase puu diameetrid maast 1 meetri kõrgusel. Tulemused: 25, 21, 22, 26, 28, 23, 20, 24, 26, 22, 25, 26. Leida selle metsa 10-aastaste puude diameetri standardhälve ja dispersiooni 95%-lised usalduspiirid. Lahendus. 1) Vabadusastmete arv k = 12 –1 = 11. 2) Diameetrite aritmeetiline keskmine: 3) Dispersiooni punkthinnang: Tabelist 4) c2 – jaotuse täiendkvantiilid:

22 Näide (II) 5) Ülddispersiooni alumine usalduspiir:
Ülddispersiooni ülemine usalduspiir: 6) Standardhälbe 95%-lised usalduspiirid:

23 Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirid
Binoomjaotusega juhuslik suurus: X ~ B(n, p) Punkthinnang üksiksündmuse tõenäosuseks: Punkthinnangu dispersioon ja standardhälve: Moivre-Laplace’i valemi kohaselt võime suure valimi korral kasutada binoomjaotuse lähendina normaaljaotust ja ehk

24 Näide Seemnepartii idanevustõenäosuse teadasaamiseks pandi partiist mulda 70 seemet, millest idanes 19.Leida seemnete idanevustõenäosuse 95%-lised usalduspiirid. Lahendus. 1) Parameetri p* punkthinnang: p* = 19/70 = 0,271. 2) Võrrand e suhtes 3) 4) Tabelist: 5) Alumine usalduspiir: Ülemine usalduspiir: