Aksiomaatilised teooriad Peano aritmeetika Gödeli teoreemid

Teema esitlus: "Aksiomaatilised teooriad Peano aritmeetika Gödeli teoreemid"— Esitluse väljavõte:

1 Aksiomaatilised teooriad Peano aritmeetika Gödeli teoreemid

2 Mitmed distsipliinid matemaatikas on üles ehitatud aksiomaatiliselt: 1) rühma-, ringi-, võre-, Boole’i algebrate, vektorruumide ja muude algebraliste süsteemide teooriad algebras, 2) meetriliste, topoloogiliste, Hilberti, Banachi jms. ruumide teooriad funktsionaalanalüüsis, 3) geomeetria alused, 4) Peano aritmeetika, 5) Zermelo-Fraenkeli jt hulgateooria aksiomaatikad jne.

3 Aksiomaatiline käsitlus annab teooriaga tegelejale
võimaluse väiteid ühtselt baasilt lähtudes tõestada, tehes läbi kogu tee aksioomidest vaatlusaluse teoreemini. Professionaalsed matemaatikud ongi tavaliselt oma valdkonna sellisel viisil enam-vähem algusest peale vähemalt kord elus läbi töötanud. võimaluse tõestada korraga väiteid paljude struktuuride (antud aksiomaatika mudelite) kohta

4 Mitteformaalse aksiomaatilise teooria skeem
Tavaliselt esitatakse matemaatika valdkond aksiomaatilise käsitluse puhul järgmise skeemi järgi: Fikseeritakse mingi hulk antud teoorias uuritavaid objekte, nendel defineeritud funktsioone ja seoseid ning sümboolika nende tähistamiseks. Teatud hulk väiteid loetakse tõesteks a priori (ilma tõestuseta). Neid väiteid nimetatakse selle teooria aksioomideks. Teooria arendamine seisneb nn. teoreemide tõestamises. Teoreemideks loetakse väiteid, mida saab tõestada „ainult aksioome kasutades“. Väidete mugavamaks sõnastamiseks võidakse olemasolevate mõistete baasil defineerida uusi.

5 Signatuur Enamik matemaatika aksiomaatilistest teooriatest on formuleeritud nn esimest järku keeltes, kus on olemas sümbolid põhihulga konkreetsete elementide, funktsioonide ja predikaatide jaoks ning muutujad põhihulga suvaliste elementide jaoks. Esimest järku keele signatuur on kolmik <𝐶,𝐹,𝑃> , kus 𝐶 on konstantsümbolite hulk, 𝐹 on funktsionaalsümbolite hulk ja 𝑃 on predikaatsümbolite hulk. Signatuuris peab hulk 𝑃 olema mittetühi. Näiteks naturaalarvude Peano aksiomaatika esitatakse tavaliselt signatuuris 𝜎=<0 ; ′ ,+, ⋅ ; = > kus ′ tähistab järgmise naturaalarvu leidmise funktsiooni

6 Teiste predikaatide ja väidete väljendamine
Signatuur on tavaliselt minimiseeritud, aga keel võimaldab rääkida ka mõnedest muudest elementidest/funktsioonidest/predikaatidest. 0, 1, 2, … saame esitada kujul 0, 0’, 0’’, … 𝑥−𝑦=𝑧 𝑥=𝑦+𝑧 𝑥<𝑦 ∃𝑧(¬ 𝑧=0 & 𝑦=𝑥+𝑧) Algarvude hulk on lõpmatu ∀𝑥∃𝑦(𝑦>𝑥 & 𝐴𝑙𝑔𝑎𝑟𝑣 𝑦 )

7 Rühmateooria Signatuur: 𝜎=<𝑒; ∙ ; = >. Omaaksioomid: G1. ⊢∀𝑥∀𝑦∀𝑧[𝑥∙ 𝑦∙𝑧 = 𝑥∙𝑦 ∙𝑧] G2. ⊢∀𝑥 𝑥∙𝑒=𝑥 G3. ⊢∀𝑥 𝑒∙𝑥=𝑥 G4. ⊢∀𝑥∃𝑦 𝑥∙𝑦=𝑒 G5. ⊢∀𝑥∃𝑦 𝑦∙𝑥=𝑒 Kommutatiivsuse aksioom (saame Abeli rühma aksioomid) G6. ⊢∀𝑥∀𝑦[𝑥∙𝑦=𝑦∙𝑥] Näiteks täisarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli rühma. Aga ka 1-elemendiline hulk 𝑒 tehtega 𝑒∙𝑒=𝑒.

8 Peano aritmeetika Peano aritmeetika on naturaalarvude aritmeetika aksiomaatiline esitus. Milleks informaatikutele aritmeetika aksiomaatika? Arvutites on kõik objektid kodeeritud naturaalarvudega ja kõik programmid teevad tegelikult naturaalarvude teisendusi Aritmeetika peamine tõestusmeetod on induktsioon ja programmeerimises kasutatav rekursioon on tegelikult seesama induktsioon

9 Peano aksioomid Signatuur: 𝜎=<0 ; ′ ,+, ⋅ ; = >, kus ′ tähistab järgmise arvu leidmise funktsiooni. Aksioomideks on nn. Peano aksioomid: P1. ∀𝑥¬ 𝑥 ′ =0 , P2. ∀𝑥∀𝑦 𝑥 ′ = 𝑦 ′ ⊃𝑥=𝑦 , P3. ∀𝑥[𝑥+0=𝑥], P4. ∀𝑥∀𝑦[𝑥+ 𝑦 ′ =(𝑥+𝑦)′], P5. ∀𝑥[𝑥⋅0=0], P6. ∀𝑥∀𝑦[𝑥⋅ 𝑦 ′ =𝑥⋅𝑦+𝑥], P7. Kõik valemid kujul 𝐴 0 &∀𝑥[𝐴 𝑥 ⊃𝐴 𝑥 ′ ]⊃∀𝑥𝐴 𝑥 .

10 Mida need aksioomid postuleerivad?
Aksioomidest P1-P2 saame, et on olemas lõpmatu naturaalarvude jada 0, 0 ′ , 0 ′′ , 0 ′′′ , … . Tavaliselt tähistame neid arve 0, 1, 2, 3, 4, …,2019, … . Aksioomid P3-P4 defineerivad naturaalarvude liitmise. Aksioomid P5-P6 defineerivad naturaalarvude korrutamise. Induktsiooniskeem P7 annab meile lisaks varasemale veel ühe taktika väidete ∀𝑥𝐴 𝑥 tõestamiseks Me teame, et valem 𝐴 0 &∀𝑥[𝐴 𝑥 ⊃𝐴 𝑥 ′ ]⊃∀𝑥𝐴 𝑥 on tõene. Seega on ∀𝑥𝐴 𝑥 tõestamiseks piisav tõestada kahe valemi tõesus: 𝐴 0 (induktsiooni baas), ∀𝑥[𝐴 𝑥 ⊃𝐴 𝑥 ′ ] (induktsiooni samm).

11 P7 ja naturaalarvude hulk
P7 sisaldab ka ideed, et on olemas ainult nn. standardsed naturaalarvud: mingi väite tõesuseks kõigil naturaalarvudel piisab tõesusest standardse naturaalarvude jada elementidel. Tegelikult on Peano aksioomidel ka mittestandardseid mudeleid, kus on muid elemente.

12 Tehete algebralised omadused
Peano aksioomid ei väida otseselt midagi liitmise ja korrutamise algebraliste omaduste kohta: assotsiatiivsus, kommutatiivsus, distributiivsus jne. Aga saab tõestada, et need omadused järelduvad aksioomidest.

13 Liitmise assotsiatiivsus
Teoreem 1. Naturaalarvude liitmine on assotsiatiivne: ∀𝑥∀𝑦∀𝑧[𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧] Tõestus. Kahe välimise üldisuse kvantori jaoks kasutame otsese tõestamise taktikat. Tähistagu 𝑥 ja 𝑦 suvalisi naturaalarve. Piisab, kui tõestame ∀𝑧[𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧]. Kasutame selle üldisuse kvantoriga väite tõestamiseks induktsiooni. Siis on vaja tõestada: 2a. 𝑥+ 𝑦+0 = 𝑥+𝑦 +0 (baaslemma) 2b. ∀𝑧 𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧 ⊃ (𝑥+ 𝑦+𝑧′ = 𝑥+𝑦 +𝑧′)] (sammulemma) 3a. Baaslemma tõestuseks rakendame 2 korda aksioomi P3: Vasak pool: 𝑣𝑝=𝑥+ 𝑦+0 =𝑥+𝑦, Parem pool 𝑝𝑝=(𝑥+𝑦)+0=𝑥+𝑦. Järelikult võrdus 2a kehtib.

14 Sammulemma tõestus 3b. Üldisuse kvantoriga väite 2b tõestamiseks tähistagu z suvalist naturaalarvu. Peame tõestama 𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧 )⊃(𝑥+ 𝑦+𝑧′ = 𝑥+𝑦 +𝑧′)] 4b) Sammulemmaks oleva implikatsiooni tõestamiseks olgu implikatsiooni vasak pool 𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧 tõene. Näitame, et siis kehtib ka parem pool 𝑥+ 𝑦+𝑧′ = 𝑥+𝑦 +𝑧′. Viime võrduse kummaski pooles funktsiooni ′ aksioomi PA4 abil kõige välimiseks operatsiooniks: 5b) 𝑣𝑝=𝑥+ 𝑦+𝑧′ = 𝑥+(𝑦+𝑧)′ = (𝑥+ 𝑦+𝑧 )′ 6b)𝑝𝑝= 𝑥+𝑦 + 𝑧 ′ = 𝑥+𝑦 +𝑧 ′ . 7b) Näeme, et 𝑣𝑝=𝑝𝑝, sest funktsiooni ′ on rakendatud argumentidele, mis induktsiooni eelduse 4b põhjal on võrdsed.

15 Teised algebra seadused
Samal viisil saab tõestada liitmise kommutatiivsuse, korrutamise assotsiatiivsuse, distributiivsuse ja korrutamise kommutatiivsuse. Nende teoreemide tõestamist aritmeetika formaalses süsteemis saab proovida programmiga fpe.jar, avades teooria Harj-Peano: M:\Loogika\ML&AT\Ijteooriad Induktsiooni kasutamiseks ∀𝒙𝑨(𝒙) tõestamisel tuleb Modus ponensi abil asendada teoreem induktsiooni baas- ja sammulemmaga: Γ⊢𝐴[0]&∀𝑥 𝐴 𝑥 ⊃𝐴 𝑥 ′ ;Γ⊢𝐴[0]&∀𝑥 𝐴 𝑥 ⊃𝐴 𝑥 ′ ⊃∀𝑥𝐴[𝑥] Γ⊢∀𝑥𝐴(𝑥) MP , seejärel kasutada parempoolses sekventsis impl reeglit, lahutada konjunktsioon osadeks ja põhjendada saadud sekventsi induktsiooni aksioomiga 7. Tegelik tõestus tuleb ehitada vasakpoolse sekventsi kohale, kasutada saab avaldiste normaalkuju.

16 Mis on aksioomid? Filosoofilises mõttes võib suhtumine aksioomidesse olla üsna erinev. Eukleides. Geomeetria uurib tegelikult eksisteeriva ruumi omadusi. Aksioomid pidid kujutama piisavalt lihtsaid väiteid, mille tõesus reaalses ruumis on ilmne. Järgmiste, enamasti ka keerulisema struktuuriga, väidete tõesus vajas aga juba tõestamist. Aksiomaatiliselt esitatud kaasaegsete loodusteaduste, näiteks elektrodünaamika ja kvantmehhaanika korral, on suhtumine aksioomidesse relatiivne. Aksioomid on siin väited, mis on tõesed sedavõrd, kuivõrd nad on vaatluse või eksperimendiga kontrollitud. Teooria aksiomaatiline "korrastamine"võimaldab välja selgitada mingi väidete hulga, mida tuleb kontrollida. Kaasaegse matemaatika aksiomaatilised teooriad defineerivad aksioomide abil oma uurimisobjekti. Näiteks, algebras nimetatakse rühmadeks neid struktuure, mis rahuldavad rühma aksioome. Sellises teoorias tõestatud teoreemide kohta teame aga lihtsalt seda, et nad on tõesed seal, kus kehtivad aksioomid (näiteks kõigil rühmadel). Aksiomatiseerimine võimaldab tõestada teoreeme korraga paljude struktuuride jaoks.

17 Kuidas käib tõestamine ?
Loogikat huvitab toodud skeemis põhiliselt kolmas punkt – teoreemide tõestamine. Matemaatikaga tegelejal tuleb tihti kokku puutuda küsimusega, kas antud tekst T on väite V tõestus või mitte. Iga tõestus koosneb sammudest. Igal sammul esitatakse - järjekordne väide ja - seletus, millistest eelpool olevatest väidetest see järeldatakse ja kuidas. Selle, kas uus väide tõepoolest on viidatud väidete järeldus, otsustame me oma isiklikku „tõestussammu intuitsiooni“ kasutades. Iga samm tõestuses peab meie jaoks olema ilmne, „silmaga nähtav“.

18 Intuitiivsest lähenemisest ei piisa
Matemaatika areng on näidanud, et intuitiivsest lähenemisest ei piisa. Vaikimisi eeldatakse siin, et järeldumise intuitsioon on kõigil inimestel ühesugune ja „vastab objektiivsele tegelikkusele“. Neist kahest eeldusest viimase paikapidavuse kohta vaevalt mingit lõplikku otsust teha saab. Aga tegelikult ei kehti ka esimene. Vähemalt kogu matemaatilise analüüsi ajalugu näitab, et juba maailma juhtivate matemaatikute vahel on siin olnud vaidlusi. Tõestusmeetodid, mis on vastuvõetavad ühtedele matemaatikutele, pole seda teiste jaoks.

19 Idee – formaliseerida ka sammude tegemise viisid
Matemaatilist loogikat huvitab ka kirjeldamine, mida on võimalik antud aksioomidest tõestada. Selleks on vaja fikseerida, kuidas tohib samme teha. Matemaatilises loogikas on selle probleemi uurimiseks tekkinud nn. formaliseeritud aksiomaatilise teooria mõiste. Formaliseeritud aksiomaatilises teoorias fikseeritakse peale aksioomide ilmutatud kujul ka nn. tuletusreeglid – lõplik hulk tõestussammu tegemiseks lubatud viise, st võimalusi järeldada väidetest 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 väide 𝐵. Selleks tuleb aga täpsemalt fikseerida keel, milles väiteid üles kirjutatakse.

20 Formaalse aksiomaatilise teooria skeem
Fikseeritakse teooria tähestik ja valemite keel väidete üleskirjutamiseks. Valemite hulga teatud alamhulga elemente nimetatakse aksioomideks ja loetakse antud teoorias á priori tõesteks. Enamasti nõutakse, et aksioomide hulk oleks algoritmiliselt lahenduv, st peab leiduma algoritm, mis teeb kindlaks, kas antud valem on aksioom või ei. Tihti on aksioomide hulk lihtsalt lõplik. Fikseeritakse lõplik hulk tuletusreegleid kujul, 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 𝐵 mille põhjal loetakse valem 𝐵 vahetult tuletatavaks valemitest 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 . Iga reegel peab olema lahenduv, s. t. tema jaoks peab leiduma algoritm, mis teeb suvaliste valemite 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 ja 𝐵 korral kindlaks, kas valem 𝐵 järeldub antud reegli abil valemitest 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 või mitte.

21 Esimest järku aksiomaatilised teooriad
Def. Esimest järku aksiomaatilisteks teooriateks nimetatakse järgmisel viisil defineeritud teooriaid. Olgu fikseeritud mingi signatuur 𝜎 (vastavalt vajadusele kas võrdusmärgiga või ilma). Tuletatavateks objektideks on signatuuri 𝜎 valemid. Aksioomideks on 1) puhta või võrdusega predikaatarvutuse aksioomid 2) antud teooria omaaksioomid. Tuletusreegliteks on predikaatarvutuse tuletusreeglid. Järeldus. Konkreetne teooria määratakse signatuuri ja omaaksioomidega.

22 Tuletatavus Definitsioon 1. Tuletuseks ehk formaalseks tõestuseks teoorias 𝑇 nimetatakse lõplikku valemite jada 𝐴 1 , , 𝐴 𝑛 , kus iga valem 𝐴 𝑖 (1  i  n) on kas aksioom või mingi reegli abil tuletatav mõnedest selle jada eelmistest valemitest. Definitsioon 2. Valemit 𝐴 nimetatakse tuletatavaks teoorias 𝑇, kui leidub tuletus, mille viimaseks valemiks on 𝐴.

23 Korrektsus ja täielikkus
Definitsioon 3. Teooriat 𝑇 nimetatakse korrektseks semantika 𝑆 suhtes, kui iga teoorias 𝑇 tuletatav valem on semantikas 𝑆 tõene. Definitsioon 4. Teooriat 𝑇 nimetatakse täielikuks semantika 𝑆 suhtes, kui iga semantikas 𝑆 tõene valem on tuletatav teoorias 𝑇. Definitsioon 5. Teooriat 𝑇 nimetatakse vasturääkivaks, kui leidub selline valem 𝐴, et teoorias 𝑇 on tuletatavad valemid 𝐴 ja ¬𝐴. Teooriat 𝑇 nimetatakse mittevasturääkivaks, kui ta pole vasturääkiv.

24 Süntaktiline täielikkus
Teooriat 𝑇 nimetatakse süntaktiliselt täielikuks, kui iga kinnise valemi 𝐴 korral on tuletatav 𝐴 või ¬𝐴. Kui tõesus semantikas 𝑆 tähendab tõesust ühes kindlas interpretatsioonis, siis järeldub semantilisest täielikkusest süntaktiline. Kui aksioomidel on rohkem kui üks mudel, siis ei saa teooria tavaliselt süntaktiliselt täielik olla. Näiteks valem ∀𝑥∀𝑦(𝑥=𝑦) on 1-elemendilises rühmas tõene ja teistes väär.

25 Korrektsus ja mittevasturääkivus
Teor. 1 (korrektsus). Igas esimest järku teoorias on iga tuletatav valem tõene igas interpretatsioonis, milles teooria kõik omaaksioomid on tõesed. Tõestus – induktsiooniga sammude arvu järgi tuletuses. On võimalik konstrueerida vasturääkivaid esimest järku teooriaid. Teor. 2 (mittevasturääkivus). Kui esimest järku teooria omaaksioomidel leidub mudel, siis teooria on mittevasturääkiv. Tõestus - triv

26 Täielikkus Teoreem (Predikaatloogika täielikkus, Gödel 1930). Igas esimest järku teoorias on iga valem, mis on tõene omaaksioomide igas mudelis, tuletatav.

27 Aritmeetika mittetäielikkus
Teoreem (Formaalse aritmeetika mittetäielikkus, Gödel 1931). Ei leidu lahenduva aksioomide hulgaga esimest järku teooriat teooria PA signatuuris, mis oleks korrektne ja täielik standardse mudeli suhtes. Gödel tõestas esialgu: Leidub selline kinnine PA valem 𝐴, et 1) Kui PA on mittevasturääkiv, siis valem 𝐴 pole tuletatav, 2) Kui PA on 𝜔-mittevasturääkiv, siis valemi 𝐴 eitus pole tuletatav. Rosser näitas aastal 1936, et lisaeeldus 𝜔 -mittevasturääkivuse kohta pole vajalik

28 𝝎-mittevasturääkivus
Definitsioon. Teooriat T aritmeetika signatuuris nimetatakse 𝜔 -vasturääkivaks, kui leidub selline valem A(x), et teoorias T 1) iga naturaalarvu 𝑛 korral on tuletatav 𝐴(𝑛) ja 2) on tuletatav ∃𝑥¬𝐴(𝑥).

29 Lahenduvus Mingi valdkonnaga tegeledes huvitab meid, kas vastav teooria on lahenduv, st kas leidub algoritm, mis teeb suvalise kinnise valemi jaoks kindlaks, kas see valem kehtib. Lahenduvuse probleemi tuleb iga teooria juures eraldi uurida. Mittelahenduvad: Peano aritmeetika, Rühmateooria, Ringiteooria, Korpuste teooria, Võreteooria, Hulgateooria Lahenduvad: Reaalarvude aritmeetika, Abeli rühmade teooria, Boole algebrate teooria, iga Boole’i algebra teooria